KVAAl | Экзамен 5.0 | Глава 11

Управление портфелем ценных бумаг

Управление портфелем ценных бумаг - деятельность, ориентированная на получение стабильного дохода от ценных бумаг, увелечение капитала и снижение инвестиционного риска.
Управление портфелем ценных бумаг

Инвестор приобретает рискованный актив А на 250 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 100 тыс. руб. под 10% годовых и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А 15%. Чему равна ожидаемая доходность портфеля инвестора?

Вопрос: 11.1.1
  • 17%
Пояснения:
Обозначим:
ri - среднее (ожидаемое) значение доходности вложений инвестора;
rа - среднее (ожидаемое) значение доходности актива А (15%);
Е - сумма собственных средств инвестора (250 тыс. руб.);
L - сумма заемных средств инвестора (100 тыс. руб.) ;
rl - процентная ставка по кредиту (10%).

При инвестировании денег в активы за счет собственных и заемных средств, инвестор формирует портфель, состоящий фактически из двух типов активов. Первый тип представляет собой активы, непосредственно приобретаемые за счет собственных и заемных средств, второй тип - это сами заемные средства. Удельные веса, или доли, указанных активов в портфеле рассчитываются относительно суммы собственных средств инвестора.

Посчитаем удельные веса актива А и заемных средств в портфеле инвестора в соответствии с выше описанной методикой.

Удельный вес актива A:
da = Сумма средств, вложенных в актив А / Собственные средства = (Е + L) / Е = (250 тыс. руб. + 100 тыс. руб.) / 250 тыс. руб. = 350/250 = 1.4

Удельный вес заемных средств:
dl = - Сумма заемных средств / Собственные средства = - L / Е = - 100 тыс. руб./250 тыс. руб. = - 0.4
(Сумма долей равна единице: da + dl = 1.4 + (-0.4) = 100%)

Ожидаемая доходность вложений инвестора равна: ri = da * га + dl * rl = 1.4 * 15% + (-0.4) * 10% = 21% - 4% = 17%

Список литературы:
А. Н. Буренин, задачи с решениями по рынку ценных бумаг, срочному рынку и риск-менеджменту

Доходность бумаги А за четыре года составила соответственно 20%, 22%, 26%, 28%. Доходность бумаги В: 24%, 28%, 23%, 27%. Определить ковариацию доходностей бумаг.

Вопрос: 11.1.2
  • 0,5
Пояснения:
Ковариация (корреляционный момент, ковариационный момент) в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин.

COV(A, В) = Е [(А-ЕА)(В-ЕВ)], где
А, В - случайные величины;
ЕА, ЕВ - математическое ожидание случайных величин А и В.

К задаче.
A1 = 20%;
А2 = 22%;
А3 = 26%;
А4 = 28%.
Следовательно: ЕА = (A1 + А2 + А3 + А4) / 4 = (20% + 22% + 26% + 28%) / 4 = 96% / 4 = 24%

B1 = 24%;
В2 = 28%;
В3 = 23%;
В4 = 27%.
Следовательно: ЕВ = (B1 + В2 + В3 + В4) / 4 = (24% + 28% + 23% + 27%) / 4 = 102% / 4 = 25.5%

Ковариация доходностей бумаг X и Y равна:
COV(A, В) = Е[(А-ЕА)(В-ЕВ)] = (A1 - EA)(B2 - ЕВ) + (А2 - ЕА)(В2 - ЕВ) + (А3 - ЕА)(В3 - ЕВ) + (А4 - ЕА)(В4 - ЕВ)] / 4 =
= [ (20 - 24)(24 - 25.5) + (22 - 24)(28 - 25.5) + (26 - 24)(23 - 25.5) + (28 - 24)(27 - 25.5)] / 4 = [6-5-5+6] / 4 = 2 /4 = 0,5

Список литературы: Википедия

Доходность бумаги А за четыре года составила соответственно 20%, 22%, 26%, 28%. Доходность бумаги В: 24%, 28%, 23%, 27%. Определить корреляцию доходностей бумаг.

Вопрос: 11.1.3
  • 0,0767
    Пояснения:
    1. Расчет математического ожидания доходностей бумаг А и В
    A1 = 20%
    А2 = 22%
    А3 = 26%
    А4 = 28%
    Следовательно: ЕА = (A1 + А2 + Аз + А4) / 4 = (20% + 22% + 26% + 28%) / 4 = 96% / 3 = 24%

    B1 = 24%
    В2 = 28%
    В3 = 23%
    В4 = 27%
    Следовательно: ЕА = (B1 + В2 + В3 + В4) / 4 = (24% + 28% + 23% + 27%) / 4 = 102% / 4 = 25.5%

    2. Расчет ковариации доходностей бумаг А и В
    Ковариация (корреляционный момент, ковариационный момент) в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин.

    COV(A, В) = Е[(А-ЕА)(В-ЕВ)], где
    А, В - случайные величины;
    ЕА, ЕВ - математическое ожидание случайных величин А и В.

    Ковариация доходностей бумаг X и Y равна:
    COV(A, В) = Е[(А-ЕА)(В-ЕВ)] = [ (A1 - EA)(B1 - ЕВ) + (А2 - ЕА)(В2 - ЕВ) + (А3 - ЕА)(В3 - ЕВ) + (А4 - ЕА)(В4 - ЕВ)] / 4 =
    = [ (20 - 24)(24 - 25.5) + (22 - 24)(28 - 25.5) + (26 - 24)(23 - 25.5) + (28 - 24)(27 - 25.5)] / 4 =
    = (-4) * (-1,5) + (-2) * 2,5 + 2 * (-2,5) + 4 * 1,5] / 4 = [6 - 5 - 5 + 6] / 4 = 2 / 4 = 0.5

    3. Расчет стандартных отклонений доходностей бумаг А и В
    Дисперсия доходности бумаги А равна:
    DA = [ (A1 - ЕА)^2 + (А2 - ЕА)^2 + (А3 - ЕА)^2 + (А4 - ЕА)^2] / 4 = [(20 - 24)^2 + (22 - 24)^2 + (26 - 24)^2 + (28 - 24)^2] / 4 = [ (-4)^2 + (-2)^2 + 2^2 + 4^2] / 4= [16 + 4 + 4 + 16] / 4 = 10

    Следовательно, стандартное отклонение доходности бумаги X равно:
    SA = DA^1/2 = 10^1/2 = 3.1623

    Дисперсия доходности бумаги В равна:
    DB = [ (B1 - ЕВ)^2 + (В2 - ЕВ)^2 + (В3 - ЕВ)^2 + (В4 - ЕВ)^2] / 4 = = [(24 - 25.5%)^2 + (28 - 25.5%)^2 + (23 - 25.5)^2 + + (27 - 25.5)^2] / 4 = (-1,5)^2 + 2.5^2 + (-2.5)^2 + 1.5^2] / 4= [2.25 + 6.25 + 6.25 + 2.25] / 4 = 4.25

    Следовательно, стандартное отклонение доходности бумаги X равно:
    SX = DX^1/2 = 4.25^1/2 = 2.0616

    4. Расчет корреляции доходностей бумаг А и В
    К(А,В) = COV(A,B)/(SA*SB) = 0.5/(3.1623*2.0616) = 0.0767

    Для формирования портфеля инвестор использовал собственные средства и также получил кредит сроком на год в размере 300 тыс. руб. под 9% годовых. Инвестор приобрел акции двух видов: акции А на сумму 400 тыс. руб. с ожидаемой доходностью 20,6% и акции В на сумму 600 тыс. руб. с ожидаемой доходностью 28,5%. Определить ожидаемую доходность портфеля инвестора за год.

    Вопрос: 11.1.4
    • 32,34%
      Пояснения:
      Пусть:
      rо - ожидаемая доходность портфеля
      Е - сумма собственных средств;
      L - сумма заемных средств (300 тыс. руб.);
      rа, rb -ожидаемые доходности акций А и В соответственно (20,6% и 28,5%);
      Ра, Рb - суммы позиций по акциям А и В соответственно (400 тыс. и 600 тыс.);
      Рr - сумма процентов по кредиту, которую нужно вернуть через год;
      r - процентная ставка по кредиту (9%).

      Тогда:
      rо = ожидаемый доход / сумма собственных средств
      Инвестор открыл позиций на (Ра + Рb) = 400 000 + 600 000 = 1 000 000 и занял кредит на сумму 300 000.
      => Е = 1 000 000 - 300 000 = 700 000 руб.

      Рr = L*r = 300 000 * 9% = 27 000

      Ожидаемый доход = ra*Pa + rb*Pb - Рr = 20,6% * 400 000 + 28,5% * 600 000 - 27 000 = 82 400 + 171 000 - - 27000 = 226 400 руб.

      => rо = 226 400 / 700 000 = 32,34%

      Определить риск портфеля, состоящего из акций А и В, если доля акции А в портфеле составляет 30%, стандартное отклонение доходности акции А за период равно 15%, акции В: 45%. Коэффициент ковариации доходностей равен 150.

      Вопрос: 11.1.5
      • 32,79%
        Пояснения:
        Пусть:
        r - риск портфеля;
        sa, sb - стандартное отклонение активов А и В соответственно (15% и 45%);
        da, db - доли активов А и В в портфеле (da = 30%, db = 100% - 30% = 70%);
        cov(a,b) - коэффициент ковариации доходностей активов А и В (150).

        Дисперсия портфеля равна:
        (da*sa)^2 + (db*sb)^2 +2*da*db*cov(a,b) = (30%*15)^2 + (70%*45)^2 + 2*30%*70%*150 = 1075.5

        Риск портфеля равен его стандартному отклонению (берем корень из дисперсии портфеля):
        1075.5А^1/2 = 32.79%

        Определить риск портфеля, состоящего из акций А и В, если доля акции А в портфеле составляет 30%, стандартное отклонение доходности акции А за период равно 15%, акции В: 45%. Коэффициент корреляции доходностей равен 1.

        Вопрос: 11.1.6
        • 36%
        Пояснения:
        Обозначим:
        r - риск портфеля;
        sa, sb - стандартное отклонение активов А и В соответственно (15% и 45%);
        da, db - доли активов А и В в портфеле (da = 30%, db = 100% - 30% = 70%);
        k(a,b) - коэффициент корреляции доходностей активов А и В (1).

        Дисперсия портфеля равна:
        (da*sa)^2 + (db*sb)^2 +2*(da*sa)*(db*sb)*k(a,b) = = (30%*15)^2 + (70%*45)^2 + 2*(30%*15)*(70%*45)*1 = 1296

        Риск портфеля равен его стандартному отклонению (берем корень из дисперсии портфеля):
        1296^1/2 = 36.00%

        Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:

        Исход 1
        Вероятность: 0,3
        Доходность актива А: -35
        Доходность актива В: -45
        Исход 2
        Вероятность: 0,25
        Доходность актива А: 20
        Доходность актива В: -8
        Исход 3
        Вероятность: 0,45
        Доходность актива А: -5
        Доходность актива В: 45

        Доля актива А портфеле 30%, доля актива В портфеле 70%. Определить ожидаемую доходность портфеля:

        • ответ: 1%
            Пояснения:
            Пусть:
            rр - ожидаемая доходность портфеля;
            da, db - доли активов А и В в портфеле (30% и 70% соответственно);
            rа, rb - ожидаемая доходность активов А и В портфеле.

            Тогда:
            rр = rа * da + rb * db
            rа = (-35%) * 0.3 + 20% * 0.25 + (-5%) * 0.45 = -7.75%
            rb = (-45%) * 0.3 + (-8%) * 0.25 + 45% * 0.45 = 4.75%

            => rр = (-7.75%) * 30% + (4.75%) * 70% = 1%

            Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:

            Исход 1
            Вероятность: 0,4
            Доходность актива А: -35
            Доходность актива В: -15
            Исход 2
            Вероятность: 0,2
            Доходность актива А: 20
            Доходность актива В: -8
            Исход 3
            Вероятность: 0,4
            Доходность актива А: -5
            Доходность актива В: 25

            Доля актива А портфеле 35%, доля актива В портфеле 65%. Определить ожидаемую доходность портфеля:

            • ответ: - 2,64%
              Пояснения:
              Пусть:
              rр - ожидаемая доходность портфеля;
              da, db - доли активов А и В в портфеле (35% и 65% соответственно);
              га, rb - ожидаемая доходность активов А и В портфеле.

              Тогда:
              rр = rа * da + rb * db
              rа = (-35%) * 0.4 + 20% * 0.2 + (-5%) * 0.4 = -12%
              rb = (-45%) * 0.3 + (-8%) * 0.25 + 45% * 0.45 = 2.4%

              => rр = (-12%) * 35% + (2.4%) *65% = -2.64%

              Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:

              Вопрос: 11.1.9
              Исход 1
              Вероятность: 0,35
              Доходность актива А: -35
              Доходность актива В: -15
              Исход 2
              Вероятность: 0,35
              Доходность актива А: 35
              Доходность актива В: -8
              Исход 3
              Вероятность: 0,3
              Доходность актива А: -5
              Доходность актива В: 45

              Доля актива А портфеле 60%, доля актива В портфеле 40%. Определить ожидаемую доходность портфеля:

              • ответ: 1,28%
                  Пояснения:
                  Пусть:
                  rр - ожидаемая доходность портфеля;
                  da, db - доли активов А и В в портфеле (60% и 40% соответственно);
                  rа, rb - ожидаемая доходность активов А и В портфеле.

                  Тогда:
                  rр = rа * da + rb * db
                  rа = (-35%) * 0.35 + 35% * 0.35 + (-5%) * 0.3 = -1.5%
                  rb = (-15%) * 0.35 + (-8%) * 0.35 + 45% * 0.3 = 5.45%

                  => rр = (-1.5%) *60% + (5.45%) *40% = 1.28%

                  Пусть распределение вероятности доходности некоторого актива за один период выглядит следующим образом:

                  Вопрос: 11.1.10
                  Доходность: 0.20 | 0.15 | 0.10 | 0.03 | - 0.06
                  Вероятность: 0,10 | 0.20 | 0.30 | 0.25 | 0.15

                  • ответ: 0,0785
                  Пояснения:
                  Пусть:
                  r (i) - i-ая доходность актива;
                  р (i) - вероятность i-oro исхода; г - ожидаемая доходность.

                  Тогда:
                  r = r(1)*р(1) + r(2)*р(2) + r(3)*р(3) + r(4)*р(4) + r(5)*р(5) = 0.2*0.1+0.15*0.2+ 0.1*0.3+0.03*0.25-0.06*0.15 = 0.0785

                  Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. по каждому из которых инвестор планирует два исхода событий в будущем. Вероятности совместного распределения доходностей приведены ниже:

                  Доходность актива В равна минус 12%
                  Доходность актива А равна минус 15% : Вероятность = 0,4
                  Доходность актива А равна 45% : Вероятность = 0,3

                  Доходность актива В равна 150%
                  Доходность актива А равна минус 15% : Вероятность = 0,25
                  Доходность актива А равна 45% : Вероятность = 0,05

                  Доли активов в портфеле одинаковы. Определите ожидаемую доходность портфеля.

                  • ответ: 21,3%
                    Пояснения:
                    Пусть:
                    r(а) - ожидаемая доходность актива А;
                    r(Ь) - ожидаемая доходность актива В;
                    d(a), d(b) - доли активов в портфеле (0.5, 0.5);
                    rр - ожидаемая доходность портфеля.

                    1. Расчет ожидаемой стоимости активов А и В.
                    Вероятность того, что доходность актива А составит -15% равна 0.65 (0.4+0.25);
                    Вероятность того, что доходность актива А составит 45% равна 0.35 (0.3+0.05);

                    Следовательно ожидаемая доходность актива А равна:
                    r(а) = r1(a)*p1(a) + r2(а)*р2(а) = -15%*0.65 + 45% * 0.35 = 6%

                    Вероятность того, что доходность актива В составит -12% равна 0.7 (0.4+0.3);
                    Вероятность того, что доходность актива В составит 150% равна 0.3 (0.25+0.05);

                    Следовательно ожидаемая доходность актива В равна:
                    r(b) = r1(b)*p1(b) + r2(b)*p2(b) = -12%*0.7 + 150% * 0.3 = 36.6%

                    2. Расчет ожидаемой доходности портфеля.
                    rр = d(a) * r(a) + d(b) * r(b) = 0.5 * 6% + 0.5 * 36.6% = 21.3%

                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. по каждому из которых инвестор планирует два исхода событий в будущем. Вероятности совместного распределения доходностей приведены ниже:

                    Доходность актива В равна минус 38%
                    Доходность актива А равна минус 30% : Вероятность = 0,22
                    Доходность актива А равна 40% : Вероятность = 0,3

                    Доходность актива В равна 15%
                    Доходность актива А равна минус 30% : Вероятность = 0,25
                    Доходность актива А равна 40% : Вероятность = 0,23

                    Доля актива А 40%, доля актива В 60%. Определите ожидаемую доходность портфеля.

                    • ответ: 10,38%
                      Пояснения:
                      Пусть:
                      r(а) - ожидаемая доходность актива А;
                      r(b) - ожидаемая доходность актива В;
                      d(a), d(b) - доли активов в портфеле (0.4, 0.6);
                      rр - ожидаемая доходность портфеля.

                      1. Расчет ожидаемой стоимости активов А и В.
                      Вероятность того, что доходность актива А составит -30% равна 0.47 (0.22+0.25)
                      Вероятность того, что доходность актива А составит 40% равна 0.53 (0.3+0.23);

                      Следовательно ожидаемая доходность актива А равна:
                      r(а) = r1(a)*p1(a) + r2(а)*р2(а) = -30%*0.47 + 40% * 0.53 = 7.1%

                      Вероятность того, что доходность актива В составит 38% равна 0.52 (0.22+0.3);
                      Вероятность того, что доходность актива В составит -15% равна 0.48 (0.25+0.23)

                      Следовательно ожидаемая доходность актива В равна:
                      r(b) = r1(b)*p1(b) + r2(b)*p2(b) = 38%*0.52 - 15% * 0.48 = 12.56%

                      2. Расчет ожидаемой доходности портфеля.
                      rр = d(a) * r(a) + d(b) * r(b) = 0.4 * 7.1% + 0.6 * 12.56% = 10.376% ≈ 10.38%

                      Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:

                      Исход 1
                      Вероятность: 0,2
                      Доходность актива А (%): 45
                      Доходность актива В (%): 23
                      Исход 2
                      Вероятность: 0,5
                      Доходность актива А (%): 5
                      Доходность актива В (%): 15
                      Исход 3
                      Вероятность: 0,3
                      Доходность актива А (%): -30
                      Доходность актива В (%): -5

                      Определите характер зависимости между доходностями активов:

                      • ответ: прямая.

                            Пояснения:
                            Пусть:
                            К (А, В) - коэффициент корреляции между активами доходностью активов А и В.
                            Тогда:
                            К (А, В) = COV (А, В) / (D(A)^1/2 * D(B)^1/2), где
                            COV (А, В) - ковариация доходностей активов А и В
                            D(A), D(B) - дисперсии доходностей активов А и В

                            COV (А, В) = Е(А*В) - Е(А)*Е(В), где
                            Е(А*В) -математическое ожидание произведения доходностей по активам А и В;
                            Е(А), Е(В) - математическое ожидание доходностей активов А и В соответственно.

                            D(A) = Е(А-Е(А))^2, или математическое ожидание случайной величины, равной (А-Е(А))^2
                            D(B) = Е(В-Е(В))^2, или математическое ожидание случайной величины, равной (В-Е(В))^2

                            Теперь непосредственно расчеты.
                            Мат. ожидание доходности актива А (Е(А)) = 45%*0.2+5%*0.5 + (-30%)*0.3 = 2.5%
                            Мат. ожидание доходности актива В (Е(В)) = 23%*0.2 + (-15%)*0.5 + (-5%)*0.3 = 10.6%

                            Дисперсия актива A (D(A)) = (45%-2.5%)^2*0.2 + (5%-2.5%)^2*0.5 + (-30%-2.5%)^2*0.3 = 0.06813
                            Дисперсия актива В (D(B)) = (23%-10.6%)^2*0.2 + (15%-10.6%)^2*0.5 + (-5%-10.6%)^2*0.3 = 0.011344

                            D(A)^1/2 = 0.06813^0.5 = 0.2610077
                            D(B)^1/2 = 0.011344^0.5 = 0.106508

                            Е(А*В) = (45%*23%)*0.2 + 5%*15%*0.5 + (-30%)*(-5%)*0.3 = 0.02895
                            Е(А)*Е(В) = 2.5% * 10.6% = 0.00265

                            COV(A,B) = 0.02895 - 0.00265 = 0.0263
                            К(А,В) = 0.0263/(0.2610077*0.106508) = 0.95

                            Корреляция (от лат. correlatio «соотношение, взаимосвязь»)

                            Коэффициент корреляции (r) характеризует величину отражающую степень взаимосвязи двух переменных между собой. Он может варьировать в пределах от -1 (отрицательная корреляция) до +1 (положительная корреляция). Если коэффициент корреляции равен 0 то, это говорит об отсутствии корреляционных связей между переменными. Причем если коэффициент корреляции ближе к 1 (или -1) то говориться о сильной корреляции, а если ближе к 0, то о слабой.

                            При положительной корреляции увеличение (или уменьшение) значений одной переменной ведет к закономерному увеличению (или уменьшению) другой переменной т.е. взаимосвязи типа увеличение-увеличение (уменьшение-уменьшение).

                            При отрицательной корреляции увеличение (или уменьшение) значений одной переменной ведет к закономерному уменьшению (или увеличению) другой переменной т.е. взаимосвязи типа увеличение-уменьшение (уменьшение-увеличение).

                            => полученный коэффициент корреляции положительный, то можно говорить о прямой корреляционной зависимости между доходностями активов.

                            Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:

                            Исход 1
                            Вероятность: 0,3
                            Доходность актива А (%): 25
                            Доходность актива В (%): -15
                            Исход 2
                            Вероятность: 0,25
                            Доходность актива А (%): -15
                            Доходность актива В (%): 50
                            Исход 3
                            Вероятность: 0,45
                            Доходность актива А (%): -5
                            Доходность актива В (%): 25

                            Определите характер зависимости между доходностями активов:

                            • ответ: обратная.
                                Пояснения:
                                Пусть:
                                К (А, В) - коэффициент корреляции между активами доходностью активов А и В.
                                Тогда:
                                К (А, В) = COV (А, В) / (D(A)^1/2 * D(B)^1/2), где
                                COV (А, В) - ковариация доходностей активов А и В
                                D(A), D(B) - дисперсии доходностей активов А и В

                                COV (А, В) = Е(А*В) - Е(А)*Е(В), где
                                Е(А*В) -математическое ожидание произведения доходностей по активам А и В;
                                Е(А), Е(В) - математическое ожидание доходностей активов А и В соответственно.

                                D(A) = Е(А-Е(А))^2, или математическое ожидание случайной величины, равной (А-Е(А))^2
                                D(B) = Е(В-Е(В))^2, или математическое ожидание случайной величины, равной (В-Е(В))^2

                                Теперь непосредственно расчеты.
                                Мат. ожидание доходности актива А (Е(А)) = 25%*0.3+(-15%)*0.25+(-5%)*0.45 = 1.5%
                                Мат. ожидание доходности актива В (Е(В)) = (-15%)*0.3+50%*0.25+25%*0.45 = 19.25%

                                Дисперсия актива A (D(A)) = (25%-1.5%)^2*0.3 + (-15%-1.5%)^2*0.25 + (-5%-1.5%)^2*0.45 = 0.025275
                                Дисперсия актива В (D(B)) = (-15%-19.25%)^2*0.3 + (50%-19.25%)^2*0.25 + (25%-19.25%)^2*0.45 = 0.06031875

                                D(A)^1/2 = 0.025275А0.5 = 0.15898
                                D(B)^1/2 = 0.06031875А0.5 = 0.2456

                                Е(А*В) = 25%*(-15%)*0.3 + (-15%)*50%*0.25 + (-5%)*25%*0.45 = -0.035625
                                Е(А)*Е(В) = 1.5% * 19.25% = 0.0028875

                                COV(A,B) = -0.035625- 0.0028875= -0.0385125
                                К(А,В) = -0.0385125/(0.15898*0.2456) = -0.9875

                                => полученный коэффициент корреляции отрицательный, то можно говорить об обратной корреляционной зависимости между доходностями активов.

                                Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:

                                Исход 1
                                Вероятность: 0,25
                                Доходность актива А (%): -25
                                Доходность актива В (%): 5
                                Исход 2
                                Вероятность: 0,5
                                Доходность актива А (%): 15
                                Доходность актива В (%): 5
                                Исход 3
                                Вероятность: 0,25
                                Доходность актива А (%): -5
                                Доходность актива В (%): 5

                                Определить коэффициент корреляции между двумя активами:

                                • ответ: 0.
                                    Пояснения:
                                    Пусть:
                                    К (А, В) - коэффициент корреляции между активами доходностью активов А и В.
                                    Тогда:
                                    К (А, В) = COV (А, В) / (D(A)^1/2 * D(B)^1/2), где
                                    COV (А, В) - ковариация доходностей активов А и В
                                    D(A), D(B) - дисперсии доходностей активов А и В

                                    COV (А, В) = Е(А*В) - Е(А)*Е(В), где
                                    Е(А*В) -математическое ожидание произведения доходностей по активам А и В;
                                    Е(А), Е(В) - математическое ожидание доходностей активов А и В соответственно.

                                    D(A) = Е(А-Е(А))^2, или математическое ожидание случайной величины, равной (А-Е(А))^2
                                    D(B) = Е(В-Е(В))^2, или математическое ожидание случайной величины, равной (В-Е(В))^2

                                    Теперь непосредственно расчеты.
                                    Мат. ожидание доходности актива А (Е(А)) = -25%*0.25 + 15%*0. 5 + (-5%)*0.25 = 0%
                                    Мат. ожидание доходности актива В (Е(В)) = 5%*0.25 + 5%*0. 5 + 5%*0.25 = 5%

                                    Дисперсия актива A (D(A)) = (-25%-0%)^2*0.25 + (15%-0%)^2*0.5 + (-5%-0%)^2*0.25 = 0.02750
                                    Дисперсия актива В (D(B)) = (5%-5%)^2*0.25 + (5%-5%)^2*0.5 + (5%-5%)^2*0.25 = 0

                                    D(A)^1/2 = 0.02750^0.5 = 0.165831
                                    D(B)^1/2 = 0^0.5 = 0

                                    Е(А*В) = (-25%*(5%))*0.25 + (15%*5%)*0.5 + (-5%)*5%*0.25 = 0
                                    Е(А)*Е(В) = 0% * 5% = 0

                                    COV(A,B) = 0-0 = 0

                                    => К(А,В) = 0. доходность актива В остается постоянной и никак не зависит от доходности актива А.

                                    Бесплатный тренажер ФСФР

                                    Закрепим материал
                                    15 вопросов (11.1.1 - 11.2.15)
                                    нажмите на кнопку
                                    Start quiz
                                    Инвестор приобретает рискованный актив А на 250 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 100 тыс. руб. под 10% годовых и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А 15%. Чему равна ожидаемая доходность портфеля инвестора?
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Доходность бумаги А за четыре года составила соответственно 20%, 22%, 26%, 28%. Доходность бумаги В: 24%, 28%, 23%, 27%. Определить ковариацию доходностей бумаг.
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Доходность бумаги А за четыре года составила соответственно 20%, 22%, 26%, 28%. Доходность бумаги В: 24%, 28%, 23%, 27%. Определить корреляцию доходностей бумаг.
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Для формирования портфеля инвестор использовал собственные средства и также получил кредит сроком на год в размере 300 тыс. руб. под 9% годовых. Инвестор приобрел акции двух видов: акции А на сумму 400 тыс. руб. с ожидаемой доходностью 20,6% и акции В на сумму 600 тыс. руб. с ожидаемой доходностью 28,5%. Определить ожидаемую доходность портфеля инвестора за год.
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Определить риск портфеля, состоящего из акций А и В, если доля акции А в портфеле составляет 30%, стандартное отклонение доходности акции А за период равно 15%, акции В: 45%. Коэффициент ковариации доходностей равен 150.
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Определить риск портфеля, состоящего из акций А и В, если доля акции А в портфеле составляет 30%, стандартное отклонение доходности акции А за период равно 15%, акции В: 45%. Коэффициент корреляции доходностей равен 1.
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:
                                    Исход 1
                                    Вероятность: 0,3
                                    Доходность актива А: -35
                                    Доходность актива В: -45
                                    Исход 2
                                    Вероятность: 0,25
                                    Доходность актива А: 20
                                    Доходность актива В: -8
                                    Исход 3
                                    Вероятность: 0,45
                                    Доходность актива А: -5
                                    Доходность актива В: 45
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:
                                    Исход 1
                                    Вероятность: 0,4
                                    Доходность актива А: -35
                                    Доходность актива В: -15
                                    Исход 2
                                    Вероятность: 0,2
                                    Доходность актива А: 20
                                    Доходность актива В: -8
                                    Исход 3
                                    Вероятность: 0,4
                                    Доходность актива А: -5
                                    Доходность актива В: 25

                                    Доля актива А портфеле 35%, доля актива В портфеле 65%. Определить ожидаемую доходность портфеля:
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:
                                    Исход 1
                                    Вероятность: 0,35
                                    Доходность актива А: -35
                                    Доходность актива В: -15
                                    Исход 2
                                    Вероятность: 0,35
                                    Доходность актива А: 35
                                    Доходность актива В: -8
                                    Исход 3
                                    Вероятность: 0,3
                                    Доходность актива А: -5
                                    Доходность актива В: 45

                                    Доля актива А портфеле 60%, доля актива В портфеле 40%. Определить ожидаемую доходность портфеля:
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Пусть распределение вероятности доходности некоторого актива за один период выглядит следующим образом:

                                    Доходность: 0.20 | 0.15 | 0.10 | 0.03 | - 0.06
                                    Вероятность: 0,10 | 0.20 | 0.30 | 0.25 | 0.15
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. по каждому из которых инвестор планирует два исхода событий в будущем. Вероятности совместного распределения доходностей приведены ниже:

                                    Доходность актива В равна минус 12%
                                    Доходность актива А равна минус 15% : Вероятность = 0,4
                                    Доходность актива А равна 45% : Вероятность = 0,3

                                    Доходность актива В равна 150%
                                    Доходность актива А равна минус 15% : Вероятность = 0,25
                                    Доходность актива А равна 45% : Вероятность = 0,05

                                    Доли активов в портфеле одинаковы. Определите ожидаемую доходность портфеля.
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. по каждому из которых инвестор планирует два исхода событий в будущем. Вероятности совместного распределения доходностей приведены ниже:

                                    Доходность актива В равна минус 38%
                                    Доходность актива А равна минус 30% : Вероятность = 0,22
                                    Доходность актива А равна 40% : Вероятность = 0,3

                                    Доходность актива В равна 15%
                                    Доходность актива А равна минус 30% : Вероятность = 0,25
                                    Доходность актива А равна 40% : Вероятность = 0,23

                                    Доля актива А 40%, доля актива В 60%. Определите ожидаемую доходность портфеля.
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:
                                    Исход 1
                                    Вероятность: 0,2
                                    Доходность актива А (%): 45
                                    Доходность актива В (%): 23
                                    Исход 2
                                    Вероятность: 0,5
                                    Доходность актива А (%): 5
                                    Доходность актива В (%): 15
                                    Исход 3
                                    Вероятность: 0,3
                                    Доходность актива А (%): -30
                                    Доходность актива В (%): -5

                                    Определите характер зависимости между доходностями активов:
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:
                                    Исход 1
                                    Вероятность: 0,3
                                    Доходность актива А (%): 25
                                    Доходность актива В (%): -15
                                    Исход 2
                                    Вероятность: 0,25
                                    Доходность актива А (%): -15
                                    Доходность актива В (%): 50
                                    Исход 3
                                    Вероятность: 0,45
                                    Доходность актива А (%): -5
                                    Доходность актива В (%): 25

                                    Определите характер зависимости между доходностями активов:
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены ниже:
                                    Исход 1
                                    Вероятность: 0,25
                                    Доходность актива А (%): -25
                                    Доходность актива В (%): 5
                                    Исход 2
                                    Вероятность: 0,5
                                    Доходность актива А (%): 15
                                    Доходность актива В (%): 5
                                    Исход 3
                                    Вероятность: 0,25
                                    Доходность актива А (%): -5
                                    Доходность актива В (%): 5

                                    Определить коэффициент корреляции между двумя активами:
                                    Next
                                    Check
                                    Show result
                                    Ошибка
                                    Следует закрепить материал
                                    Restart
                                    Отлично
                                    Переходим к сдедующей теме
                                    Restart
                                    Может просто купить справку ?
                                    Нет! Уж лучше я вложусь в свое образование, чем в «ракеты каналы» и мутные справки. Ведь учеба расширит мой кругозор, раскроет ответы на многие термины и вещи, которые могут попадаться при изучении материалов аналитиков. Я сделал свой выбор, буду учиться.